六、贪婪法 Jb9 @U /<\
wNl6a9#
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 *'-C/
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 ;#Qv
)kS*
【问题】 装箱问题 v`'Iew }
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 h(~of (
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： o[ JZ>nm
{ 输入箱子的容积； T^ +K`U
输入物品种数n； >e.vUUQ{
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； yXtQfR
预置已用箱子链为空； E*tT^x)
预置已用箱子计数器box_count为0； 2|1CGHj\
for (i=0;i<n;i++) `B8`<3k/(
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； <jFov`^
if （已用箱子都不能再放物品i） ZF #lh]
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； e{4e<hd
box_count++； d6m&n j
} ??#EG{{
else /18fpH|
将物品i放入箱子j； 2RqV\Jik
} XmVs t*2=
} `z/ p,. u
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 N5#j}tT
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 ,G?Kb#
【程序】 P A *U\
# include <stdio.h> Q>\DM'{:4
# include <stdlib.h> OFcP4hDi
typedef struct ele =SW <Vhtb
{ int vno; %@aC5^Ovy+
struct ele *link; Wy1. nn[
} ELE; Kn?h
typedef struct hnode N`X |z
{ int remainder; |_s, ]:
ELE *head; 8{icY|:MTN
Struct hnode *next; .DnG}884
} HNODE; cFjD*r-
zw5Ol%JF
void main() A'u]z\&%c
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; -m=!SQ >9
HNODE *box_h, *box_t, *j; aAd1[?&
ELE *p, *q; DtS7)/<T
Printf(“输入箱子容积\n”); I +^iOa
Scanf(“%d”,&box_volume); 3T 0'zJ2f
Printf(“输入物品种数\n”); =kOo(
Scanf(“%d”,&n); M xd7X<\$
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); zrE{CdG%y
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); h<C R W-
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); ns/*WH&[x
Box_h=box_t=NULL; V=>]&95-f
Box_count=0; ?%Q=l;W.
For (i=0;i<n;i++) s nNd7v.U6
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); l8 %BRG
p->vno=i; @b5$WKPX
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) a>Aq/=
if (j->remainder>=a) break; weGsjy(b]N
if (j==NULL) ;3Z?MQe"NQ
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); ^x( s !4d]
j->remainder=box_volume-a; I&^hG\D
j->head=NULL; W^;4t3eQf
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; 6 RS it
else box_t=boix_t->next=j; ZRr.kN+F
j->next=NULL; ]haQ#e}WH
box_count++; '['x'G50
} g>b{hkIXg
else j->remainder-=a; Crla~h?=
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); i_!$bk< yo
if (q==NULL) ^H&`e"|R9
{ p->link=j->head; x A*6Z)Y
j->head=p; +n
&8" )
} ;kG"m7-/
else <
jX5}@`z
{ p->link=NULL; uXA} " f2
q->link=p; S]e;p\8$Z
} (
Y Z 2&
} S,Qa\\~z
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); qsQTJlq)
printf(“各箱子装物品情况如下：”); 7^#O{QYol
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) (\
|Go-2G
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); rof9Rxxe-
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) ME5M;bz(
printf(“%4d”,p->vno+1); PyQ\O*
printf(“\n”); G ,`]2'(@
} $(yi+v
} rNke&z:%X_
【问题】 马的遍历 @!!5el {
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 Smh=Q4,W
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 $p }q ,f.
4 3 8|!"CQJ|H
5 2 (Dba!zSs
马 * u[@C
6 1 /Ea&Zm
7 0 (2RuQgO
B\ZCJaMb
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 3"Kap/[h
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 &< FKcrZ,
【程序】 R_:lp \S&
# include <stdio.h> au+:-Khm
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; ]% G# x
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; [KW)z#`*
int board[8][8]; e?GzvM'2
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) ^>fr+3a"P
{ int i1,j1,k,count; 3@0!]z^W
for (count=k=0;k<8;k++) *^Z -4
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; GJF
,w{J
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; w H`GzB"
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) Ty;^3
a[count++]=(s+k)%8; kH[thR k}
} $P #KL//
return count; :o:/RR p[
} O /&Qzt
1 :{+{Yl7
int next(int i,int j,int s) <c ,i u{:
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; 6>'>BamX
m=exitn(i,j,s,a); UnZc9 6
if (m==0) return –1; W yP] ]I.
for (min=9,k=0;k<m;k++) zTn.#-7y
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); --vJR/ -
if (temp<min) g/i.b&
{ min=temp; {3Dm/u%=9|
kk=a[k]; _?Ly7*UML
} 90=gP
} A`I1G9s
return kk; T.WN9= N
} \M Av's4b@
{Q^ -
void main() 83 )m#
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; $?OQtz@
for (sx=0;sx<8;sx++) #zb6 7mg~
for (sy=0;sy<8;sy++) M2qor.d
{ start=0; / 1+jQS
do { X9&>.?r
for (i=0;i<8;i++) Z 3X9-_g
for (j=0;j<8;j++) [a#*%H{OC
board[j]=0; #)%X0%9.*<
board[sx][sy]=1; &5%~Qw..
I=sx; j=sy; +N|t:8 qaf
For (step=2;step<64;step++) ndvt
$*
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; AG G xx?I
I+=delta_i[no]; W7\UZPs5t
j+=delta_j[no]; *4Z! 5iOs
board[j]=step; )<5hga][~a
} 0/~{,
if (step>64) break; oSO ~72
start++; g(o^' f
} while(step<=64)
"'Q~&B;@
for (i=0;i<8;i++) +4[Je$qYa
{ for (j=0;j<8;j++) 0.U-
tg0
printf(“%4d”,board[j]); (J
j'kW6G6
printf(“\n\n”); qM d4awB
R
} @A-E
scanf(“%*c”); z;&J9r $`
} TH~"y
}
