六、贪婪法 NnGQ=$e
K>,Kbs=D6
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 Y%anR|
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 `m`jX|`
【问题】 装箱问题 *x)WF;(]g
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 M5 : f ^
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： k_-=:(Z
{ 输入箱子的容积； lVARe 3#
输入物品种数n； 2:&8FdU
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； C>:F4"0
预置已用箱子链为空； }8fxCW*|
预置已用箱子计数器box_count为0； N@58R9P<p
for (i=0;i<n;i++) `IFt;J a\6
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； &s\$&%|
if （已用箱子都不能再放物品i） #fzvK+
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； rRYP~
$c
box_count++； ` {k>I^Pg
} G0 ^ 23j
else Y^2`)':
将物品i放入箱子j； [o*u!2 r
} D 7 [n^WtL
} hG2btmBht
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 |\XjA4j
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 Q`,D#V${D
【程序】 &z
1A-O
v
# include <stdio.h> 5R{
{FD`h
# include <stdlib.h> >Y1?`
typedef struct ele }Xrs"u,
{ int vno;
OMvwmm
struct ele *link; os/~6
} ELE;
P@PZ m
typedef struct hnode %+Z 0 $Q
{ int remainder; l:z :tJ#(
ELE *head; C ])Q#!D|
Struct hnode *next; S`U Gk
} HNODE; V/"XC3/n*
]BO {Q+?d2
void main() L<1"u.3Z`}
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; 9bMM-~
HNODE *box_h, *box_t, *j;
!|9$
ELE *p, *q; (W5E\hjJ
Printf(“输入箱子容积\n”); 5#80`/w^U
Scanf(“%d”,&box_volume); jMzHs* :
Printf(“输入物品种数\n”); qaA\.h7
Scanf(“%d”,&n); ig")bt3s5
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); })M$#%(
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); |n}W^}S5
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); --Dw
Box_h=box_t=NULL; PC.$&x4w1
Box_count=0; awHfd5nRS
For (i=0;i<n;i++) /A9M v%zjk
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); nbMH:UY,J
p->vno=i; Jk}L+X vv
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) P qagep d
if (j->remainder>=a) break; SV<*qz
if (j==NULL) prlB9,3|C
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); #h6(DuViKw
j->remainder=box_volume-a; ;}A#ws_CD_
j->head=NULL;
]vXIj0:
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; ]n _-
else box_t=boix_t->next=j; PUlt n}M
j->next=NULL; #Vs/1y`()
box_count++; 3${?!O C
} Zj<oh8
else j->remainder-=a; Zv 7@
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); V*=cNj
if (q==NULL) yD#w @yG
{ p->link=j->head; 8MX/GF;F
j->head=p; `RthX\Tof
} !V+5$TsS
else F} H!vh[
{ p->link=NULL; p $?c>lim
q->link=p; IywovN Tr
} cQ6[o"j.
} "*RCV6{
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); l
YH={jJ
printf(“各箱子装物品情况如下：”); ]1)@.b;QR
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) hO ;bnt%(
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); >: W)9o
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) 8kW9.
printf(“%4d”,p->vno+1); E;VB oN [
printf(“\n”); ;FMK>%Zq
} ZNOoyWYi5
} %f6l" ~y
【问题】 马的遍历 w?jmi~ 6
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 7 z<!2
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 Qc[[@=S%
4 3 Yo|
H`m,
5 2 ^ n bze
马 s.=)p"pTd
6 1 Kzo{L
7 0 X2 M<De F:
puZ<cV
e/
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 ~q4DePVE
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 *VHBTO9
【程序】 eb9qg.9Z
# include <stdio.h> n 8AND0a1C
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; u%XFFt5
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; 0qG[h xt%
int board[8][8]; ^>%=/RX
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) KS*W<_I
{ int i1,j1,k,count; 5\R8>G~H
for (count=k=0;k<8;k++) ?aOR ^ K
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; +
{a
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; g+ 2SB5 2D
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) RVI],O
a[count++]=(s+k)%8; :&?# ~NFH
} +bdkqdB9
return count; )Bb :tz+
} VZAdc* X
OUI}jJw+
int next(int i,int j,int s) ry~3YYEMI0
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp; M 8KfC!
m=exitn(i,j,s,a); /
s H*if
if (m==0) return –1; jvu ,W4
for (min=9,k=0;k<m;k++)
~{^A&#P
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); 3q pk Mu3
if (temp<min) _JR4
PKtx
{ min=temp; hZ2PP ^
kk=a[k]; 7Mo O2
} +QldZba
} y*uL,WH
return kk; \?3];+c9
} Tw!x*
c}QQ8'_
void main() ni~45WX3
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; oC4rL\d{
for (sx=0;sx<8;sx++) (/ k, q
for (sy=0;sy<8;sy++) GExG1 n-
{ start=0; 5Qy,P kje
do { f 1=8I_>=
for (i=0;i<8;i++) A8Jbl^7E+
for (j=0;j<8;j++) fi bR :8
board[j]=0; HowlJ[ km%
board[sx][sy]=1; D|=QsWZI
I=sx; j=sy; ' O{hr0q}
For (step=2;step<64;step++) ~-W.yg6D{
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; m.V mS7_I
I+=delta_i[no]; 5)T{iPU%X
j+=delta_j[no]; !Id F6 %
board[j]=step; tmb0zuJ&C!
} da I-*
if (step>64) break; ~gBqkZ# y?
start++; wV5<sH__
} while(step<=64) oK(ua
for (i=0;i<8;i++) FfD2
&(-R
{ for (j=0;j<8;j++) 29av8eW?3
printf(“%4d”,board[j]); PY>j?otD
printf(“\n\n”); E+~~d6nB
} F&c A!~
scanf(“%*c”); NoKYHN^*w
} @kqy!5)K
}
