六、贪婪法 33D2^ Sf6"
Q 3^h
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。 S^p^)
fAmF
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。 $@]
xi
【问题】 装箱问题 ZnzO]
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。 J` gG`?
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下： V rx,'/IS8
{ 输入箱子的容积； (y&sUc9
输入物品种数n； B9$f y).Gp
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 'kY/=*=Q
预置已用箱子链为空； /
j%~#@
预置已用箱子计数器box_count为0； Te cMQ0
KD
for (i=0;i<n;i++) |mRlP5
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j； |j9aTv[`
if （已用箱子都不能再放物品i） -\; 0gnf{J
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子； t0@AfO.'1
box_count++； Jp}\@T.
} Ok{1{EmP
else |:x,|>/
将物品i放入箱子j； La '6 k
} ~ OR^
} A?}[rM
Z
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。 P:vp/x !
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。 `aG _ m/7|
【程序】 U$+,|\ 9
# include <stdio.h> ;s3\Z^h4kd
# include <stdlib.h> eiyr^Sch.
typedef struct ele GI, TE
{ int vno; WG\
_eRj
struct ele *link; oA7DhU5n
} ELE; 2@
9? ~?r
typedef struct hnode G/(,,T}eG
{ int remainder; %D:VcY9OC
ELE *head; S$$S Ly:P
Struct hnode *next; #Ktk[ "6
} HNODE; L97 ~m a
T`U p%5Dk
void main() L*,h=#x(
{ int n, i, box_count, box_volume, *a; 8]b;l; W5
HNODE *box_h, *box_t, *j; ?a% F3B
ELE *p, *q; #Y=b7|l
Printf(“输入箱子容积\n”); Y`eF9Im,
Scanf(“%d”,&box_volume); c^pQitPv
Printf(“输入物品种数\n”); oe|;>0yf
Scanf(“%d”,&n); PLz+%L;{
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n); ~]d 9 J
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”); !m9hL>5v R
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i); D&ua A-;s
Box_h=box_t=NULL; 4:a ~Wlp[
Box_count=0; 32SkxcfrCK
For (i=0;i<n;i++) 4K7ved)
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE)); H? Q--pG8
p->vno=i; 'Rsr*gX#
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next) c*E7nc)u
if (j->remainder>=a) break; U/s
Z1u -
if (j==NULL) Db*b "/]
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE)); l1]{r2g
j->remainder=box_volume-a; 6Y,& q| K
j->head=NULL; 26k~Z}
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j; G/# <d-}_
else box_t=boix_t->next=j; @sZ7Ka
j->next=NULL; J(/J;PW
box_count++; hFr+K1
} u t4:LHF
else j->remainder-=a; tKLeq(
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link); !> +Lre@
if (q==NULL) Vq`/]&
{ p->link=j->head; 4~$U#$u_
j->head=p; u?MhK# Mr
} uuF~+=.|
else ',WJ'g
{ p->link=NULL; rKslgZhQ
q->link=p; >yT1oD0+x
} ,P`G IGvkA
} w_@{v wM$A
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count); BCz4
s{F
printf(“各箱子装物品情况如下：”); D A>nYj-s
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++) Nb_ Glf
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder); Vraz}JV
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link) n[K%X s)
printf(“%4d”,p->vno+1); :R:@V#Y
printf(“\n”); @g;D A)!(
} V/"RCqY4
} u^E0 u^
【问题】 马的遍历 p xedj
问题描述：在8×8方格的棋盘上，从任意指定的方格出发，为马寻找一条走遍棋盘每一格并且只经过一次的一条路径。 yY49JZ
马在某个方格，可以在一步内到达的不同位置最多有8个，如图所示。如用二维数组board[ ][ ]表示棋盘，其元素记录马经过该位置时的步骤号。另对马的8种可能走法（称为着法）设定一个顺序，如当前位置在棋盘的（i，j）方格，下一个可能的位置依次为（i+2，j+1）、（i+1，j+2）、（i-1，j+2）、（i-2，j+1）、（i-2，j-1）、（i-1，j-2）、（i+1，j-2）、（i+2，j-1），实际可以走的位置尽限于还未走过的和不越出边界的那些位置。为便于程序的同意处理，可以引入两个数组，分别存储各种可能走法对当前位置的纵横增量。 h@ ZC{B
4 3 mr#.uhd.z
5 2 g5Io=e@s
马 aCQ[Uc<B:
6 1 |r;>2b/ x
7 0 %_p]6 doF
1'TS!/ll];
对于本题，一般可以采用回溯法，这里采用Warnsdoff策略求解，这也是一种贪婪法，其选择下一出口的贪婪标准是在那些允许走的位置中，选择出口最少的那个位置。如马的当前位置（i，j）只有三个出口，他们是位置（i+2，j+1）、（i-2，j+1）和（i-1，j-2），如分别走到这些位置，这三个位置又分别会有不同的出口，假定这三个位置的出口个数分别为4、2、3，则程序就选择让马走向（i-2，j+1）位置。 s!D2s2b9e
由于程序采用的是一种贪婪法，整个找解过程是一直向前，没有回溯，所以能非常快地找到解。但是，对于某些开始位置，实际上有解，而该算法不能找到解。对于找不到解的情况，程序只要改变8种可能出口的选择顺序，就能找到解。改变出口选择顺序，就是改变有相同出口时的选择标准。以下程序考虑到这种情况，引入变量start，用于控制8种可能着法的选择顺序。开始时为0，当不能找到解时，就让start增1，重新找解。细节以下程序。 $J)`Ru6.
【程序】 ,f,+) C$
# include <stdio.h> q^wSM
int delta_i[ ]={2,1,-1,-2,-2,-1,1,2}; qy KR]%yzi
int delta_j[ ]={1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}; $[MAm)c:]{
int board[8][8]; _<c}iZv@
int exitn(int i,int j,int s,int a[ ]) +/mCYI
{ int i1,j1,k,count; Mz Kl=G
for (count=k=0;k<8;k++) Rb:?%\=
{ i1=i+delta_i[(s+k)%8]; 2MYez>D
j1=i+delta_j[(s+k)%8]; #X$s5H
if (i1>=0&&i1<8&&j1>=0&&j1<8&&board[I1][j1]==0) B|9XqQ EI
a[count++]=(s+k)%8; $w-@Oa*h9U
} Oz]$zRu/0
return count; Tl-%;X<X
} S-Vxlku]
gP d ,
int next(int i,int j,int s) !m'Rp~t
{ int m,k,mm,min,a[8],b[8],temp;
;Q/1l=Bn
m=exitn(i,j,s,a); jll| y0
if (m==0) return –1; (0_zp`)
for (min=9,k=0;k<m;k++) t *Z5 {
{ temp=exitn(I+delta_i[a[k]],j+delta_j[a[k]],s,b); FBouXu #
if (temp<min) ObreDv^,
{ min=temp; \{a5]G(4s
kk=a[k]; ;tA$
x!5]
} ".( G,T W
} &><b/,]
return kk; upeioC q
} xy&*s\=:
wzoT!-_X
void main() PX/^*
{ int sx,sy,i,j,step,no,start; K~3Y8ca
for (sx=0;sx<8;sx++)
eIlovq/X
for (sy=0;sy<8;sy++) LZs'hA<L
{ start=0; Jx`7W 1%T
do { +eLL )uk
for (i=0;i<8;i++) ubVZEsoW?
for (j=0;j<8;j++) K g.O2F77
board[j]=0; `0q=Z],
board[sx][sy]=1; 7z/O#Fbs
I=sx; j=sy; -w)v38iX!
For (step=2;step<64;step++) /f+BeQ3#/
{ if ((no=next(i,j,start))==-1) break; hPgYKa8u
I+=delta_i[no]; )g3c-W=
j+=delta_j[no]; #(+V&< K
board[j]=step; sP% b? 6
} @"^7ASd%
if (step>64) break; j:2 F97
start++; Wy/h"R\=
} while(step<=64) zq ?xY`E
for (i=0;i<8;i++) q3K}2g
{ for (j=0;j<8;j++) }m Ub1b
printf(“%4d”,board[j]); W* v3B.
printf(“\n\n”); V
joVC$ZX
} .XkVdaX
scanf(“%*c”); q68m*1 ?y
} }&6:0l$4!
}
